En este apartado estudiaremos el circuncentro de un triángulo. También veremos cómo calcular las mediatrices de un triángulo y el área de la circunferencia que pasa los vertices de un triángulo.
Mediatrices y circuncentro de un triángulo
A continuación presentamos las definiciones de circuncentro y mediatriz.
Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas por los puntos medios de sus lados.
El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices.
El circuncentro se expresa con la letra 
.
El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
Ejercicio
Hallar las ecuaciones de las mediatrices y el circuncentro del triángulo de vértices: 
y 
Paso 1: Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de 
En primer lugar hallamos el punto medio de 
. Para esto solo debemos restar las coordenadas de los puntos 
y 
y luego dividir por 
, es decir,
Lo siguiente es hallar la pendiente de la perpendicular al lado . Ya que la pendiente de la recta que pasa por los puntos y es
y el producto de las pendientes de una recta y su perpendicular es -1, entonces la pendiente de nuestra mediatriz es
Finalmente aplicamos la ecuación punto-pendiente, tenemos que la ecuación de la recta mediatriz es
Paso 2: Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de 
Procedemos de manera símiliar al paso anterior. En primer lugar hallamos el punto medio de 
. Para esto solo debemos restar las coordenadas de los puntos 
y y luego dividir por , es decir,
Lo siguiente es hallar la pendiente de la perpendicular al lado . Ya que la pendiente de la recta que pasa por los puntos y es
y el producto de las pendientes de una recta y su perpendicular es -1, entonces la pendiente de nuestra mediatriz es
Finalmente aplicamos la ecuación punto-pendiente, tenemos que la ecuación de la recta mediatriz al segmento es
Paso 3: Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de 
Procedemos de manera símiliar a los pasos anteriores. En primer lugar hallamos el punto medio de 
. Para esto solo debemos restar las coordenadas de los puntos y y luego dividir por , es decir,
Lo siguiente es hallar la pendiente de la perpendicular al lado . Ya que la pendiente de la recta que pasa por los puntos y es
y el producto de las pendientes de una recta y su perpendicular es -1, entonces la pendiente de nuestra mediatriz es
Finalmente aplicamos la ecuación punto-pendiente, tenemos que la ecuación de la recta mediatriz al segmento es
El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.
El circuncentro es
Área de la circunferencia circunscrita
El circuncentro es el centro de la de la circunferencia circunscrita, es decir, la que pasa por los tres vértices.
Hallaremos el área de la circunferencia circunscrita para el ejemplo anterior. El radio de la circunferencia circunscrita es la distancia entre dos puntos: el circuncentro y cualquier vértice del triángulo. En este caso tomaremos el punto 
y el circuncentro 
Ya que el área de una circunferencia es igual a 
por el radio al cuadrado, entonces el área de nuestra circunferencia circunscrita es
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