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Definición del producto punto
El producto punto o producto escalar de dos vectores es una operación que da como resultado un número real. Hay distintas formas de definir esta operación, una de ellas es por medio de multiplicar el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman, esto es
Sin embargo, la forma más común de definir el producto punto no es esa, sino por medio de la suma de los productos de sus respecticas coordenadas, es decir, si 
y 
, entonces podemos definir el producto punto como
Ejemplo
Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas son las siguientes:
Aplicando la definición, tenemos que
Propiedades del producto punto
Tenemos las siguientes propiedades importantes del producto punto.
1 Conmutatividad.
2 Asociatidad al multiplicar por un número real.
3 Distributividad con la suma.
4 Si 
, entonces se cumple que
Módulo de un vector en términos del producto punto
Podemos expresar el móludo de un vector en términos del producto punto, simplemente notemos que
En pocas palabra, el módulo de un vector es la raíz de producto punto del vector consigo mismo.
Ejemplo
Obtener el módulo del siguiente vector
Aplicando la igualdad anterior, tenemos que
Ángulo entre dos vectores en términos de su producto punto
Podemos definir el ángulo entre dos vectores en términos del producto punto de estos. Primero tengamos en cuenta que el coseno del ángulo que se fomra por dos vectores 
y 
está dado por
Notemos que una vez que tenemos el coseno, podemos calcular el ángulo simplemente aplicando la función trigonométrica inversa arcocoseno, así
Ejemplo
Obtener el ángulo que forman los vectores
Por la fórmula anterior tenemos que
Vectores ortogonales
Dos vectores y son ortogonales si el producto punto de estos es nulo (igual a 
), esto es, si se cumple que
así, notemos que la ortogonalidad está definida a partir del producto punto.
Ejemplo
Verificar si los vectores
son ortogonales.
Calculemos el producto punto de los vectores
Dado que el producto punto es igual a , tenemos que los vectores son ortogonales.
Interpretación geométrica del producto punto
Tenenemos que el producto punto de dos vectores no nulos (distintos al vector cero) es igual al módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre él. Analicemos la siguiente imagen
Notemos que 
, 
y 
es la proyección de sobre , entonces es claro que
Sin embargo, como vimos previamente, el coseno también está dado por
Igualando tenemos que
Como dado, la proyección escalar de sobre se calcula con la siguiente fórmula
es claro que lo que se hace es obtener un vector unitario con la dirección de y luego le damos una longitud igual a 
.
Ejercicios
Los siguientes ejercicio servirán de práctica para entender mejor el producto punto y sus propiedades.
1 Dados los vectores
encontrar sus módulos.
Calculemos los módulos
2 Dados los vectores
calcular su producto escalar.
Calculemos el producto escalar
3 Dados los vectores
calcular el ángulo que forman.
Apliquemos la fórmula que vimos, esto es, usaremos arcocoseno
4 Dados los vectores
encontrar el valor de 
para que los vectores sean ortogonales.
Recordemos que para que dos vectores sean ortogonales su producto punto debe ser igual a cero, por lo tanto
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Sean u = 2i − 3j y v = −4i + 6j. Encuentre: 4v − 6u , con su bosquejo
Al trasladar el punto A(2,4) dado el vector B(2-2) se obtiene?
Hola, de la matriz que calcularon la determinante no es =0.
Podrías señalar el ejercicio para rectificar por favor.
Calcular x²+1
Cómo resolver los ejercicios si están en kilómetros por ejemplo:
A= 300km b=4,000km C= 5,000km
Osea cuando sustituimos tenemos que poner √(X1,X2)² + (Y1,X2)²
O (X2,X1)² +(Y2,Y1)²
¿Cual de las dos?
Depende de que quieras obtener y que significa la expresión (X1,X2), la expresión √(X1,X2)² + (Y1,X2)² esta mal escrita si quieres encontrar una distancia.
24 4 70 NE
Vectores modelo