1

Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a y .

Recordemos que para hallar un vector ortogonal a dos vectores dados debemos tomar el producto cruz (vectorial) entre ellos. Para este caso particular tenemos que un vector ortogonal a y esAhora calcularemos la norma de este vector para obtener los vectores unitarios,

EL primer vector unitario y ortogonal que buscamos es el vector divido por su norma

El segundo vector lo obtenemos solo invirtiendo la dirección del primero, es decir, multiplicando por menos uno

2

Hallar un vector perpendicular a y , y que sea unitario.

Aplicamos un procedimiento similar al del problema anterior. Para hallar un vector ortogonal a dos vectores dados debemos tomar el producto cruz (vectorial) entre ellos. Para este caso particular tenemos que un vector ortogonal a y es

Ahora calcularemos la norma de este vector para obtener el vector unitario,

EL vector unitario y ortogonal que buscamos es el vector divido por su norma

3

Dados los vectores y , hallar el producto y comprobar que este vector es ortogonal a y a . Hallar el vector y compararlo con .

Primero hallamos el vector  Dos vectores son ortogonales si su producto punto es igual a cero. Entonces calcularemos y

Para terminar calcularemos el vector

Notemos que se obtiene que

4

Considerar la siguiente figura:

área de un paralelogramo

Se pide:

A
Coordenadas de para que sea un paralelogramo.
B
Área de este paralelogramo.

1Para que la figura sea un paralelogramo, los vectores y deben ser equipolentes.

Si tiene coordenadas entonces y . Dado que son equipolentes entonces

Por lo tanto las coordenadas buscadas son

2
El área del paralelogramo se halla calculando la norma del producto cruz (vectorial) de los vectores que determinan el paralelogramos, en este caso podemos considerar que estos vectores son y . Ahora calculamos el producto cruz (vectorial)

Finalmente calculando su norma hallamos el área buscada,

5

Dados los puntos , y , se pide:
A
Hallar para qué valores del parámetro están alineados.
B
Hallar si existen valores de para los cuales , y son tres vértices de un paralelogramo de área y, en caso afirmativo, calcularlos.

1Si y están alineados los vectores y tienen la misma dirección, por lo que son linealmente dependientes y tienen sus componentes proporcionales

Para que sus componentes sean proporcionales deben cumplir que

entonces

2

El módulo del producto vectorial (o cruz) de los vectores y es igual al área del paralelogramo construido sobre y . Calculamos el producto vectorial de estos vectores

Dado que le área debe ser igual a , entonces

entonces

Finalmente los vectores que buscamos son

o

6

Sean , y los tres vértices de un triángulo. Se pide:
A
Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
B
Calcular el área del triángulo.

1Recordemos que el coseno del ángulo entre dos vectores y es igual a

donde denota el producto punto entre los vectores y .

Para nuestro caso tenemos que los vectores en cuestión son

Los ángulos del triángulo estan determinados por los siguientes pares de vectores y , y , y . Por lo tanto los cosenos buscaos son

2

El área del triángulo es solo la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores y . Por lo tanto debemos calcular el área de dicho paralelogramo, sabemos que esa área es la norma del producto vectorial de y .

La norma de este vector osea el área del paralelogramo es igual a

Finalmente el área del triángulo es

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗