Posiciones relativas de tres planos y matriz de coeficientes
Dados los planos:
Y sean:
rango de la matriz de los coeficientes.
rango de la matriz ampliada.
Las posiciones relativas de los tres planos vienen dadas por la siguiente tabla:
Posición | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1. Planos secantes en un punto | |||||||||
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5. Planos coincidentes. |
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Planos secantes en un punto
Si entonces los planos son secantes entre si y se cortan en un punto. Esto quiere decir que el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible determinado
Si y entonces se tienen dos posibilidades para la intersección de los tres planos
Planos secantes dos a dos
Si y puede darse el cado que los planos se intersectan dos a dos formando una superficie primática. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible
Dos planos paralelos y el tercero secante
Si y puede darse el caso de que dos planos sean paralelos y el tercero sea secante a los planos paralelos. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible y dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales.
Si entonces se tienen dos posibilidades para la intersección de los tres planos
Planos secantes y distintos
Si puede darse el caso de que los tres planos sean secantes y distintos pero los tres se intersecten en una misma recta. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible indeterminado.
Dos planos coincidentes y uno secante
Si puede darse el caso de que dos planos. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible indeterminado y dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.
Si y entonces se tienen dos posibilidades para la intersección de los tres planos
Planos paralelos y distintos dos a dos
Si y puede darse el caso de que los tres planos sean paralelos y distintos dos a dos. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible.
Planos paralelos y dos coincidentes
Si y puede darse el caso de que dos planos coincidan y sean paralelos al tercero. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible y dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.
Planos coincidentes
Si entonces los tres planos coinciden entre si. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible indeteminado.
Ejemplos resuletos de planos
Hallar la posición relativa de los planos:
1
1Escribimos el sistema de ecuaciones
2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes
para ello calculamos el determinante de
Calculamos el determinante de la submatriz
Así,
3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida
para ello calculamos el determinante de la submatriz
Así, .
Como los planos no son paralelos entre si, y concluimos que los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie prismática
2
1Escribimos el sistema de ecuaciones
2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes
para ello calculamos el determinante de
Así,
3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida
para ello calculamos el determinante de la submatriz la cual sabemos que es distinto de cero. Así, .
De esta forma se concluye que los tres planos se cortan en un punto
3
1Escribimos el sistema de ecuaciones
2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes
para ello calculamos el determinante de
Calculamos el determinante de la submatriz
Así,
3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida
como la segunda y tercera fila son múltiplos entre si, cualquier submatriz de de tres por tres tiene determinante cero. Por ello calculamos el determinante de la submatriz
Así,
De esta forma se concluye que el segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a ellos.
4
1Escribimos el sistema de ecuaciones
2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes
como las tres filas son múltiplos entres si, el determinante de esta matriz y la de todas sus submatrices de tamaño 2 es cero ello calculamos el determinante de
Así,
3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida
como la primera y segunda fila son múltiplos entre si, cualquier submatriz de de tres por tres tiene determinante cero. Por ello calculamos el determinante de la submatriz
Así,
De esta forma se concluye que el primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a ellos.
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