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Vamos

Posiciones relativas de tres planos y matriz de coeficientes

Dados los planos:

 

 

Y sean:

rango de la matriz de los coeficientes.

rango de la matriz ampliada.

 

Las posiciones relativas de los tres planos vienen dadas por la siguiente tabla:

 

Posición
1. Planos secantes en un punto

2.1 Planos secantes dos a dos.
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.

3.1 Planos secantes y distintos.
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.
5. Planos coincidentes.

 
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Planos secantes en un punto

 

Si entonces los planos son secantes entre si y se cortan en un punto. Esto quiere decir que el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible determinado

 

posiciones relativas de tres planos 1

Si y entonces se tienen dos posibilidades para la intersección de los tres planos

Planos secantes dos a dos

 

Si y puede darse el cado que los planos se intersectan dos a dos formando una superficie primática. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible

 

posiciones relativas de tres planos 2

 

 

Dos planos paralelos y el tercero secante

 

Si y puede darse el caso de que dos planos sean paralelos y el tercero sea secante a los planos paralelos. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible y dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales.

 

posiciones relativas de tres planos 3

 

Si entonces se tienen dos posibilidades para la intersección de los tres planos

Planos secantes y distintos

 

Si puede darse el caso de que los tres planos sean secantes y distintos pero los tres se intersecten en una misma recta. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible indeterminado.

 

posiciones relativas de tres planos 4

 

 

Dos planos coincidentes y uno secante

 

Si puede darse el caso de que dos planos. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible indeterminado y dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

 

posiciones relativas de tres planos 5

 

Si y entonces se tienen dos posibilidades para la intersección de los tres planos

Planos paralelos y distintos dos a dos

 

Si y puede darse el caso de que los tres planos sean paralelos y distintos dos a dos. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible.

 

posiciones relativas de tres planos 6

 

 

Planos paralelos y dos coincidentes

 

Si y puede darse el caso de que dos planos coincidan y sean paralelos al tercero. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es incompatible y dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

 

posiciones relativas de tres planos 7

 

 

Planos coincidentes

 

Si entonces los tres planos coinciden entre si. En este caso, el sistema de ecuaciones formado por los tres planos es compatible indeteminado.

 

posiciones relativas de tres planos 8

 

 

Ejemplos resuletos de planos

 

Hallar la posición relativa de los planos:

 

1

 

1Escribimos el sistema de ecuaciones

 

 

2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes 

 

 

para ello calculamos el determinante de

 

 

Calculamos el determinante de la submatriz

 

 

Así,

3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida

 

 

para ello calculamos el determinante de la submatriz

 

 

Así, .

 

Como los planos no son paralelos entre si, y concluimos que los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie prismática

 

 

2

 

1Escribimos el sistema de ecuaciones

 

 

2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes

 

 

para ello calculamos el determinante de

 

 

Así,

 

3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida

 

 

para ello calculamos el determinante de la submatriz la cual sabemos que es distinto de cero. Así, .

 

De esta forma se concluye que los tres planos se cortan en un punto

 

 

3

 

1Escribimos el sistema de ecuaciones

 

 

2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes

 

 

para ello calculamos el determinante de

 

 

Calculamos el determinante de la submatriz

 

 

Así,

 

3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida

 

 

como la segunda y tercera fila son múltiplos entre si, cualquier submatriz de de tres por tres tiene determinante cero. Por ello calculamos el determinante de la submatriz

 

 

Así,

 

De esta forma se concluye que el segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a ellos.

 

 

4

 

1Escribimos el sistema de ecuaciones

 

 

2Calculamos el rango de la matriz de coeficientes

 

 

como las tres filas son múltiplos entres si, el determinante de esta matriz y la de todas sus submatrices de tamaño 2 es cero ello calculamos el determinante de

 

Así,

 

3Calculamos el rango de la matriz de coeficientes extendida

 

 

como la primera y segunda fila son múltiplos entre si, cualquier submatriz de de tres por tres tiene determinante cero. Por ello calculamos el determinante de la submatriz

 

 

Así,

 

De esta forma se concluye que el primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a ellos.

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗