Al considerar una recta y un plano en el espacio, estas están posicionadas de alguna de las tres siguientes formas:

 

1 está contenida en .

 

2 y son paralelos.

 

3 y son secantes.

 

Dependiendo de la expresión de la recta , se tienen los siguientes casos:

 

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Vamos

La recta viene definida por dos planos secantes

 

Consideramos la recta definida por dos planos secantes y

 

 

y el plano .

 

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

 

 

Representamos por al rango de la matriz de coeficientes y por al rango de la matriz ampliada. Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:

 

Posición
Recta contenida en el plano 2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3

 

La recta viene definida por un punto y un vector

 

Si la recta está definida por el punto y el vector director ; y el plano tiene vector normal . Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

 

Recta contenida en el planorecta contenida en el plano

 

Recta y plano paralelosRecta paralela a un plano

 

Recta y plano secantesRecta y plano secantes

 

Las posiciones relativas de la recta y el plano se pueden obtener estudiando la posición del punto de la recta y  el producto interno del vector director de la recta y el vector normal del plano

 

Posición
Recta contenida en el plano
Recta y plano paralelos
Recta y plano secantes

 

Ejercicios

 

1Hallar la posición relativa de la recta y el plano:

 

1En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas

 

 

2Discutimos el sistema formado por la recta y el plano

 

 

3Escribimos la matriz de coeficientes

 

 

4Calculamos el determinante

 

 

Luego el rango es

 

5Calculamos el rango la matriz ampliada

 

 

El cual es , basta considerar la matriz .

 

6Como , entonces la recta y el plano son secantes.

 

2Hallar la posición relativa de la recta y el plano:

 

1En primer lugar a partir de las ecuaciones continuas de la recta, obtenemos el punto y el vector director , recordando que

 

 

luego y

 

2El vector normal del plano está formado por sus coeficientes. Luego

 

3Calculamos el producto interno del vector director y el vector normal

 

 

4Verificamos si se encuentra en el plano, para esto sustituimos el punto en la ecuación del plano

 

 

Como se satisface la ecuación del plano, tenemos que

 

5A partir de la segunda tabla, concluimos que la recta está contenida en el plano.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗