Temas
Ecuación vectorial del plano
Para determinar un plano del espacio, se necesita conocer un punto y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.
Para que el punto pertenezca al plano el vector tiene que ser coplanario con los vectores y , es decir, que dependa linealmente de y .
En coordenadas se expresa
Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:
Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones paramétricas de la recta.
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas y · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollando el determinante obtenemos:
Damos los valores:
Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a el valor:
Obtenemos la ecuación general de plano:
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean los puntos y , la ecuación canónica viene dada por:
donde
Ejercicios
1 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto y tiene como vectores directores a y
1 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
2 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos y y contiene al vector
1 Se tiene un vector director; el otro vector director viene dado por
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos y
1 Calculamos los vectores directores
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
4 Comprobar si los puntos y pertenecen al plano de ecuaciones paramétricas
1 De la ecuación paramétrica se obtiene un punto del plano y los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 Sustituimos los puntos dados en la ecuación implícita del plano
, entonces
, entonces
5 Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos y .
1 Calculamos los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 La ecuación segmentaria es
6 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto y contiene a la recta de ecuación
1 De la ecuación de la recta se obtiene un punto del plano y un vector director
2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
7 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos y es paralelo a la recta de ecuación
1 De la ecuación de la recta se obtiene un vector director
2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
8 Dadas las rectas
Determinar la ecuación del plano que contiene a y es paralelo a
1 De las ecuaciones de las rectas se obtienen un punto del plano y los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
encuentre una forma general de una ecuación de la recta q pasa por el punto A q satisfaga la condicion dada A (5, – 2)
a) paralelo al eje y
b) perpendicular al eje y
¿Cuál es el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un avión que se mantiene sobre volando la ciudad de San José a una distancia constante de 5 km de la Torre de Juan Santamaría
Graficar y calcular la distancia y punto Medio de los siguientes P(1,1),Q (3,3)
Hallar la distancia y la pendiente de A(07)
B(2,1)
F(×)=5-2×
A= (7,7)
B= (-9,-6)
Ecuación explícita de la recta
una recta pasa por el punto (0,-5) formando con una x un ángulo de x=90° Hallar la ecuación de la recta
1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(3,-1,0) y su vector director sea
perpendicular a los vectores: w = y u =