Sistemas de referencia

Base

Dos vectores vector y vector linealmente independientes, con distinta dirección, forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.

producto

vector

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

vector

Ejemplos

vector

vectores

Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

base

base

base

base


Sistema de referencia

vector

En el plano, un sistema de referencia está formado por un punto O del plano y una base (vector , vector).

El punto O del sistema de referencia se llama origen.

Los vectores linealmente independientes vector , vector forman la base.

Sistema de referencia ortogonal

Sistema de referencia ortogonal

Los vectores base son perpendiculares y tienen distinto módulo.

Sistema de referencia ortonormal

vector

Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios.

Se representan por las letras vectores.

vectores

vectores

Las rectas OX, OY se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.


Ejecicios


Dados los vectores u = (1, 4), v = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector w = (−1. −1).

(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)

−1 = a +b a = −1 −b a= 2

−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3

w = 2u − 3v


Sean los vectores libres u = (2, 1), v = (1, 4) y w = (5, 6). Determinar:

1. Si forman una base u y w.

independientes

2. Expresar w como combinación lineal de los de la base

operaciones

operaciones

operaciones

3. Calcular las coordenadas de C respecto a la base.

Las coordenadas de w respecto a la base son: (2, 1)


Dados los vectores:

b = 3u + 2v

b = u − 3v

c = 3 b − 2 b

Calcular las coordenadas del vector c respecto de la base (u, v ).

c = 3 b − 2 b

b = 3u + 2v

b = u − 3v

3 b − 2 b = 3 (3u + 2v) − 2 ( u − 3v) =

= 9 u + 6v − 2u + 6v = 7u + 12v

Las coordenadas de c en la base B son (7, 3) .



Un vector w tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica. ¿Qué coordenadas tendrá referido a la base u = (1, 2), v = (2, 1)?

(3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)

3 = a + 2b a = 3 - 2b a = 7/3

5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3

Las coordenadas de w en la base B son (7/3, 1/3).


Dados los vectores u = (1, 4), v = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector w = (−1. −1).

(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)

−1 = a +b a = −1 −b a= 2

−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3

w = 2u − 3v



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