Para hablar de sistemas de referencia en el plano cartesiano, primero debemos definir la noción de base. A partir de ahi podremos definir dos tipos de sistemas de referencia, el ortogonal y el ortonormal.

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (53 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
4,9
4,9 (42 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (18 opiniones)
Fátima
18€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Lautaro
5
5 (66 opiniones)
Lautaro
14€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (183 opiniones)
Alex
13€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (95 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (30 opiniones)
Santiago
15€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Pedro
5
5 (106 opiniones)
Pedro
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (53 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
4,9
4,9 (42 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (18 opiniones)
Fátima
18€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Lautaro
5
5 (66 opiniones)
Lautaro
14€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (183 opiniones)
Alex
13€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (95 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (30 opiniones)
Santiago
15€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Pedro
5
5 (106 opiniones)
Pedro
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Base

Dos vectores en el plano y son linealmente independiente, si para toda constante . Dichos vectores linealmente independientes, con distintas direcciones, forman una base, porque cualquier vector del plano puede ser escrito como combinación lineal de y , esto es, dado un vector ,

Como primer ejemplo tenemos la siguiente grafica,

Vectores linealmente independientes

Las coordenadas del vector respecto a la base definida por y estan dadas por


Ejemplos
1 Dados lo siguiente vectores obtener sus coordenadas respecto a la base definida por y .

Como solución tenemos que las coordenadas estan dadas por

2 Que pares de los siguiente vectores forman una base,

Para saber si dos vectores y forman una base, comprobamos si la siguiente igualdad no se satisfaga,

Para la pareja , tenemos

Por lo tanto forman una base.

Para la pareja , tenemos

Por lo tanto no forman una base.

Para la pareja , tenemos

Por lo tanto forman una base.

Sistemas de referencia

En el plano un sistema de referencia esta formado por un punto y un plano

Sistema de referencia en el plano

EL punto del sistema de referencia se llama origen y los vectores linealmente independientes forman una base.

Sistema de referencia ortogonal

Un sistema de referencia se dice ortogonal si los vectores son una base perpendicular y tienen distinto modulo,

Base ortogonal

Sistema de referencia ortonormal

Un sistema de referencia se dice ortonormal si los vectores son una base perpendicular y tienen modulo unitario,

Base ortonormal

EL ejemplo más importante de una base ortonormal es la base canónica, esta compuesta por los siguiente vectores,

Recordemos que las rectas y se llaman ejes coordenados o ejes coordenados cartesianos. En los siguiente veremos algunos ejemplos,

Ejemplos.

1 Dados los vectores y que constituyen una base. Expresar en esta base al vector .

Consideramos la siguiente ecuación

luego obtenemos las siguientes ecuaciones

Finalmente Lo que nos da que .

2 Dados los vectores , y . Determinar:

A Si los vectores y forman una base.

Para comprobar esto, vemos si el producto de la primera coordenada de con la segunda coordenada de es diferente al producto de la primera coordenada de con la segunda coordenada de ,

Por lo tanto podemos concluir que si forman una base.

B Expresar a como una combinación de los elementos de la base formada por y .

Consideramos la siguiente ecuación

luego obtenemos las siguientes ecuaciones

Finalmente Lo que nos da que .

C Dado el vector con coordenadas en la base canonica. Que coordenadas tendrá en la base formanada por y .

De nuevo formamos el siguiente sistema de ecuaciones,

luego obtenemos las siguientes ecuaciones

Finalmente Lo que nos da que las coordenadas ene la base de y son .

D Dados los vectores , y . Calcular las coordenadas de en la base y .

Ahora reemplazamos las expresiones para y en ,

Por lo tanto las coordenadas para son .

Encuentra a tu profesor matematicas en Superprof.

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (7 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗