Sistemas de referencia
Base
Dos vectores 
y 
linealmente independientes, con distinta dirección, forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.
Las coordenadas del vector respecto a la base son:
Ejemplos
Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
Sistema de referencia
En el plano, un sistema de referencia está formado por un punto O del plano y una base ( , ).
El punto O del sistema de referencia se llama origen.
Los vectores linealmente independientes , forman la base.
Sistema de referencia ortogonal
Los vectores base son perpendiculares y tienen distinto módulo.
Sistema de referencia ortonormal
Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios.
Se representan por las letras 
.
Las rectas OX, OY se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.
Ejecicios
Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector 
= (−1. −1).
(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)
−1 = a +b a = −1 −b a= 2
−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3
= 2 − 3
Sean los vectores libres = (2, 1), = (1, 4) y = (5, 6). Determinar:
1. Si forman una base y .
2. Expresar como combinación lineal de los de la base
3. Calcular las coordenadas de C respecto a la base.
Las coordenadas de respecto a la base son: (2, 1)
Dados los vectores:
= 3 + 2
= − 3
= 3 − 2
Calcular las coordenadas del vector respecto de la base (, ).
= 3 − 2
= 3 + 2
= − 3
3 − 2 = 3 (3 + 2) − 2 ( − 3) =
= 9 + 6 − 2 + 6 = 7 + 12
Las coordenadas de en la base B son (7, 3) .
Un vector tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica. ¿Qué coordenadas tendrá referido a la base = (1, 2), = (2, 1)?
(3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)
3 = a + 2b a = 3 - 2b a = 7/3
5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3
Las coordenadas de en la base B son (7/3, 1/3).
Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1. −1).
(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)
−1 = a +b a = −1 −b a= 2
−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3
= 2 − 3
