El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

 

Producto escalar

 

Esto se obtiene de

 

1Calcular el coseno del ángulo

 

 

2Despejamos el cual es la proyección escalar de sobre el vector

 

 

3Sabemos que , luego

 

 

4Simplificando se obtiene

 

 

5Despejando se obtiene

 

 

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

 

La proyección escalar del vector sobre es el módulo de la proyección vectorial de sobre .

 

Ejercicios

 

1Hallar la proyección del vector sobre el vector .

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector

 

 

Resolviendo se obtiene

 

 

2Calcula la proyección del vector sobre el vector .

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector

 

 

Resolviendo se obtiene

 

 

3Calcula la proyección del vector sobre , siendo .

 

Proyeccion de un vector 2

 

Calculamos los vectores

 

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector

 

 

Resolviendo se obtiene

 

 

4Siendo los vértices de un triángulo, calcular las proyecciones de los lados y sobre y comprobar que su suma es igual al módulo de .

 

proyecciones de los lados de un triangulo

 

Calculamos los vectores

 

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector para hallar la proyección de sobre

 

 

Resolviendo se obtiene

 

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector para hallar la proyección de sobre

 

 

Resolviendo se obtiene

 

 

La suma de ambas proyecciones es

 

 

lo cual coincide con el módulo de

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗