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En este artículo continuaremos nuestra discusión sobre el producto escalar y veremos una serie de ejemplos diversos ejemplificando lo estudiado. ( Sugerencia : ver primero Producto escalar de dos vectores)
El producto escalar y sus propiedades
Recordemos que existen dos maneras equivalentes de obtener el producto escalar de dos vectores 
y 
:
1. Si conocemos las componentes de los vectores 
y 
, entonces el producto escalar está dado por 
2. Si conocemos el módulo de ambos vectores y el ángulo 
que forman entre ellos, entonces el producto escalar se obtiene mediante
donde el módulo de un vector cualquiera 
es 
y donde el ángulo puede ser calculado haciendo 
También recordemos que el producto escalar satisface las siguientes propiedades:
1. Es definido positivo. Es decir, el producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
2. El producto escalar es conmutativo. Esto es, no importa en qué orden se multiplican los vectores. 
3. Asociatividad respecto a la multiplicación por escalar. Es decir, si multiplicamos por y luego por un escalar 
, entonce el resultado es lo mismo que realizar primero 
y luego haver el producto escalar por .
4. Es distributivo respecto a la suma. Esto es,
Aplicaremos estas propiedades del producto escalar para resolver lo siguiente.
Ejemplos sobre el cálculo del producto escalar de vectores
1.Si 
, calcular 
.
Solución:
Calculamos el producto escalar usando la forma (1):
2.Si 
y 
, calcular 
Solución:
Dado que conocemos las componentes de los vectores, entonces aplicamos la forma(1) para calcular el producto escalar: 
3.Si 
y 
calcular 
.
Solución:
Para resolver esto, aplicamos la propiedad (3) del producto escalar:
4.Si 
y 
, calcular 
.
Solución:
Nuevamente, usando la forma (1) obtenemos:
5.Si 
y 
calcular 
Solución:
Para resolver esto, usamos la propiedad (4) del producto escalar:
5.Si 
y 
, calcular
Solución:
Ya que conocemos los módulos de los vectores y el ángulo que se forma entre ellos, entonces utilizamos las segunda forma para calcular el producto escalar como sigue
6.Si , 
y 
, calcular usando el segundo método.
Solución:
Para utlizar el segundo método debemos primero calcular la magnitud de los vectores. Así entonces tenemos que
- La magnitud de es
- La magnitud de es
Por lo tanto obtenemos que
7.Si 
y 
, encontrar 
tal que y sean ortogonales.
Solución
Recordemos que, dos vectores son ortogonales si su producto escalar es igual a 
. Así, tenemos que resolver
Por lo tanto 
8.Sea 
una base de los vectores del plano tal que 
y 
Sean 
e 
. Calcular 
Solución:
Usando las propiedades del producto escalar tenemos que
donde la segunda igualdad se sigue por la propiedad distributiva y la última igualdad por la propiedad conmutativa del producto escalar. Luego, usando que, para cualquier vector 
,
obtenemos que
Por lo tanto 
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Sean u = 2i − 3j y v = −4i + 6j. Encuentre: 4v − 6u , con su bosquejo
Al trasladar el punto A(2,4) dado el vector B(2-2) se obtiene?
Hola, de la matriz que calcularon la determinante no es =0.
Podrías señalar el ejercicio para rectificar por favor.
Calcular x²+1
Cómo resolver los ejercicios si están en kilómetros por ejemplo:
A= 300km b=4,000km C= 5,000km
Osea cuando sustituimos tenemos que poner √(X1,X2)² + (Y1,X2)²
O (X2,X1)² +(Y2,Y1)²
¿Cual de las dos?
Depende de que quieras obtener y que significa la expresión (X1,X2), la expresión √(X1,X2)² + (Y1,X2)² esta mal escrita si quieres encontrar una distancia.
24 4 70 NE
Vectores modelo