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Vamos

Combinación lineal de vectores

Sea espacio vectorial y vectores en , se llama combinación lineal a cada uno de los vectores de la forma:

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Suma vectores independientes
En la imagen anterior vemos al vector escrito como combinacion lineal de y

 

Ejemplos

1 Dadoslos vectores , , calcular el vector combinación lineal

Tendremos que

2 El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores y ?

Vemos si podemos encontrar, que cumplan lo siguiente

Por tanto se debe tener que

Resolviendo obtenemos que

y por tanto

Dependencia Lineal

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Es decir, el conjunto de vectores son linealmente dependientes si

con distintos de cero.

Propiedades

1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

despejando

Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

 

2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

 

3 Dos vectores del plano y son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Vectores linealmente dependientes

entonces

 

Independencia lineal

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. Es decir, son linealmente independientes si no son linealmente dependientes.

Por lo tanto, el conjunto de vectores cumple que

si y solo si

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección.

 

Ejercicios de dependencia e independencia lineal

1 Estudiar la dependencia lineal de los vectores: y .

La propiedad (2) nos dice que si dos vectores son linealmente dependientes entonces sus componentes son proporcionales, en este caso, notemos que

por tanto, linealmente independientes.

 

2 Estudiar la dependencia lineal de los vectores: y

Necesitamos que

entonces

Por tanto son linealmente dependientes para .

 

3 Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados y del triángulo: , es paralelo al lado e igual a su mitad.

Triangulo ABC

¿Son paralelos? Primero encontremos los puntos M, N y tambien al vector

Si es paralelo a sus componentes son proporcionales. Verifiquemos

y ahora

Por tanto, son paralelos.

Comprobemos ahora que :

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗