Dependencia e independencia lineal

Combinación lineal de vectores

Dados los números a1, a2, ..., an y los vectores v1, v2, ..., vn, se llama combinación lineal a cada uno de los vectores de la forma:

combinación lineal

producto

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

vector

Dados los vectores vectores, calcular el vector combinación lineal vector

operaciones


El vector vector, ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores vectores?

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones


Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Vectores linealmente dependientes


Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

vectores linealmente independientes

vectores

Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3.Dos vectores del plano u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

vectores

vectores


Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

Vectores linealmente dependientes

a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección.


Ejercicios


Estudiar la dependencia lineal de los vectores:

u = (3, 1) y v = (2, 3)

operaciones

Linealmente independientes


Estudiar la dependencia lineal de los vectores:

u = (x − 1, 3) y v = (x + 1, 5)

operaciones

Son linealmente dependientes para x = 4.


Estudiar la dependencia lineal de los vectores:

u = (5, 3 − x ) y v = (x + 9, 3x + 1)

operaciones

operaciones

Son linealmente dependientes para x = 1 y x = -22


Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

dibujo

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución


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