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Combinación lineal de vectores
Sea espacio vectorial y vectores en , se llama combinación lineal a cada uno de los vectores de la forma:
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.
En la imagen anterior vemos al vector escrito como combinacion lineal de y
Ejemplos
1 Dadoslos vectores , , calcular el vector combinación lineal
Tendremos que
2 El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores y ?
Vemos si podemos encontrar, que cumplan lo siguiente
Por tanto se debe tener que
Resolviendo obtenemos que
y por tanto
Dependencia Lineal
Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Es decir, el conjunto de vectores son linealmente dependientes si
con distintos de cero.
Propiedades
1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.
despejando
Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3 Dos vectores del plano y son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.
Vectores linealmente dependientes
entonces
Independencia lineal
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. Es decir, son linealmente independientes si no son linealmente dependientes.
Por lo tanto, el conjunto de vectores cumple que
si y solo si
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección.
Ejercicios de dependencia e independencia lineal
1 Estudiar la dependencia lineal de los vectores: y .
La propiedad (2) nos dice que si dos vectores son linealmente dependientes entonces sus componentes son proporcionales, en este caso, notemos que
por tanto, linealmente independientes.
2 Estudiar la dependencia lineal de los vectores: y
Necesitamos que
entonces
Por tanto son linealmente dependientes para .
3 Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados y del triángulo: , es paralelo al lado e igual a su mitad.
¿Son paralelos? Primero encontremos los puntos M, N y tambien al vector
Si es paralelo a sus componentes son proporcionales. Verifiquemos
y ahora
Por tanto, son paralelos.
Comprobemos ahora que :
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Al trasladar el punto A(2,4) dado el vector B(2-2) se obtiene?
Hola, de la matriz que calcularon la determinante no es =0.
Podrías señalar el ejercicio para rectificar por favor.
Cómo resolver los ejercicios si están en kilómetros por ejemplo:
A= 300km b=4,000km C= 5,000km
Osea cuando sustituimos tenemos que poner √(X1,X2)² + (Y1,X2)²
O (X2,X1)² +(Y2,Y1)²
¿Cual de las dos?
Depende de que quieras obtener y que significa la expresión (X1,X2), la expresión √(X1,X2)² + (Y1,X2)² esta mal escrita si quieres encontrar una distancia.
Tengo un ejercicio que eh intentado resolver pero no se que hacer es el siguiente:
Losvectores𝐴=𝑖̂−2𝑗̂+𝑘 y 𝐵=2𝑖̂+𝑗−4𝑘,estánexpresadosentérminosdeun
parámetro , para que estos vectores sean perpendiculares entre si ¿Cuál es el valor del parámetro ?.
La incógnita es un delta
En los casos de suma y resta la diferencia es como dice el nombre en una sumas miembro a miembro y en la otra restas, dando como resultado un vector, pero en la multiplicación de vectores el resultado no es un vector, es un escalar.
Cual seria la diferencia entre las operaciones de vectores suma resta y multiplicacion