Vectores y coordenadas

Coordenadas de un vector

vectores

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

puntopunto

Las coordenadas del vector vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

vector

Ejemplos

Calcular las coordenadas de un vector cuyos extremos son:

componentes


Un vector vector tienen de coordenadas (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).

operaciones


Punto medio de un segmento

vector 

igualdad

Ejemplo

Calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB.

operaciones

operaciones

operaciones


Tres puntos alineados

vector

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores vectores tengan la misma dirección. Es decir si sus coordenadas son proporcionales.

igualdad

Ejemplo

Hallar el valor de a para que los puntos estén alineados.

ángulo

ángulo


Simétrico de un punto

vector


Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'.

igualdad

Calcular el simétrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, 11).

Ejemplo

segmento

operaciones

operaciones

operaciones

Baricentro

vector

Las coordenadas del baricentro son:

coordenadas

 

Ejemplo

Dados los vértices de un triángulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), calcular las coordenadas del baricentro.

solución


División de un segmento

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en una relación r:

razón


Ejemplo

Calcular los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

segmento

operaciones


Ejercicios

1. Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar las coordenadas del baricentro.

solución


2. Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de AC, A(−3, 1).

solución


3. Averiguar si están alineados los puntos: A (- 2, - 3), B(1, 0) y C(6, 5).

solución


4. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, - 1) y B(8, - 4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.

solución

solución

solución


5. Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?


dibujosolución


6. Hallar el simétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6).

solución

solución

solución


7. Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

solución


8. Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga razón


solución

solución

solución



  •