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Vamos

Fórmula del ángulo entre dos vectores

 

El ángulo que forman dos vectores y viene dado por la expresión:

 

 

La expresión en función de sus coordenadas es

 

 

Ejemplo: Hallar el ángulo comprendido entre los vectores y

 

1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores

 

 

2Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

3Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores

 

 

5El valor que satisface la igualdad anterior es

 

Ejercicios propuestos

 

 

1Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores .

1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores

 

 

2Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

3Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores

 

 

5El valor que satisface la igualdad anterior es

¿Y si pruebas nuestras clases particulares de matematicas?

 

 

2Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores .

1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores

 

 

2Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

3Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores

 

 

5El valor que satisface la igualdad anterior es

 

 

3Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores .

1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores

 

 

2Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

3Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores

 

 

5El valor que satisface la igualdad anterior es

 

 

4Dados los vectores , calcula para que los vectores y sean perpendiculares.

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

 

3Dos vectores son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de ; el coseno de este ángulo es cero

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para

 

 

Así, el valor buscado es

 

 

5Dados los vectores , calcula para que los vectores y sean paralelos.

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

 

3Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es de ; el coseno de este ángulo es uno

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para

 

 

Así, el valor buscado es

 

Otra forma de resolver el ejercicio es considerar la proporcionalidad de sus componentes

 

 

 

6Dados los vectores , calcula para que los vectores y formen un ángulo de .

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

 

3El ángulo entre lo dos vectores es de ; el coseno de este ángulo es

 

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para

 

 

7Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

 

Las raíces son , pero solamente es solución de , ya que tuvimos que elevar al cuadrado para obtener las soluciones. Así, el valor buscado es .

 

 

7Hallar si el ángulo que forman y   vale .

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

 

3El coseno de es cero

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para

 

 

Así, el valor buscado es

 

 

8Hallar si el ángulo que forman y vale .

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

 

3El coseno de es uno

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para

 

 

Así, el valor buscado es

 

 

9Hallar si el ángulo que forman y vale .

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

 

3El ángulo entre lo dos vectores es de ; el coseno de este ángulo es

 

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para

 

 

Las raíces son

 

 

10Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados y del triángulo: , es paralelo al lado e igual a su mitad.

1Representamos gráficamente

 

segmento paralelo a un lado del triangulo

 

2Calculamos el punto medio del lado

 

 

3Calculamos el punto medio del lado

 

 

4Calculamos el vector

 

 

5Calculamos el vector

 

 

6Calculamos la magnitud del primer vector

 

 

7Calculamos la magnitud del segundo vector

 

 

8Para verificar si los dos vectores son paralelos, verificamos la proporcionalidad de sus componentes

 

 

Como sus componentes son proporcionales, entonces los vectores son paralelos

 

 

11Calcular los ángulos del triángulo de vértices: .

1Representamos gráficamente

 

Angulos interiores de un triangulo

 

2Calculamos el vector

 

 

3Calculamos el vector

 

 

4Calculamos la magnitud de

 

 

5Calculamos la magnitud de

 

 

6Calculamos el producto interno de ambos vectores

 

 

7Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores

 

 

El valor corresondiente al vértice que satisface la igualdad anterior es

 

8Calculamos el vector

 

 

9Calculamos el vector

 

 

10Calculamos la magnitud de

 

 

11Calculamos la magnitud de

 

 

12Calculamos el producto interno de ambos vectores

 

 

13Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores

 

 

El valor corresondiente al vértice que satisface la igualdad anterior es

 

14Como la suma de os ángulos interiores de un triángulo es , entonces el ángulo correspondiente al vértice es

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗