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Alturas de un triángulo
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.
El ortocentro se expresa con la letra H.
Recta de Euler
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados, es decir, pertenecen a una misma recta, llamada recta de Euler.
Posición del ortocentro
La posición del ortocentro depende de la clasificación del triángulo según sus ángulos:
Acutángulo
En un triángulo acutángulo, el ortocentro se posiciona dentro del triángulo.
Obtusángulo
En un triángulo obtusángulo, el ortocentro se posiciona fuera del triángulo, ya que habrá algunas alturas en el exterior del triángulo.
Rectángulo
En un triángulo rectángulo, el ortocentro se posiciona en el vértice del ángulo recto.
Ejemplo de ejercicio resuelto
Hallar las ecuaciones de las alturas y el ortocentro del triángulo de vértices: , y .
Conocimientos necesarios:
Si tenemos una recta con pendiente que pasa por el punto su ecuación es:
A ésta se la llama la ecuación punto-pendiente.
Si tenemos una recta que pasa por los puntos y , su pendiente es:
Si dos rectas son perpendiculares entonces sus pendientes cumplen que:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Ecuación de la altura que pasa por el vértice A
Para poder calcular la ecuación de una recta debemos conocer su pendiente y un punto por el que pasa. En el caso de la altura que pasa por A no sabemos la pendiente que tiene, sin embargo sabemos que es perpendicular al lado opuesto (el lado BC). Así que primero hallamos la pendiente del lado BC.
Como la altura desde A y el lado BC son perpendiculares, sus pendientes cumplen que
Sustituimos y despejamos
La altura que pasa por tiene pendiente . Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ecuación de la altura que pasa por el vértice B
Procedemos de manera análoga al caso anterior. Primero hallamos la pendiente del lado opuesto a B, el lado AC.
Como la altura desde B y el lado AC son perpendiculares, sus pendientes cumplen que
Sustituimos y despejamos
La altura que pasa por tiene pendiente . Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ecuación de la altura que pasa por el vértice C
El lado opuesto a C es AB, y su pendiente es:
Como la altura desde C y el lado AB son perpendiculares, sus pendientes cumplen que
Sustituimos y despejamos
La altura que pasa por tiene pendiente . Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ortocentro
El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.
Si te queda duda de cómo resolver éste sistema de ecuaciones te recomendamos nuestros artículos sobre el método de reducción, igualación o sustitución.
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Graficar y calcular la distancia y punto Medio de los siguientes P(1,1),Q (3,3)
Hallar la distancia y la pendiente de A(07)
B(2,1)
F(×)=5-2×
A= (7,7)
B= (-9,-6)
Ecuación explícita de la recta
una recta pasa por el punto (0,-5) formando con una x un ángulo de x=90° Hallar la ecuación de la recta
1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(3,-1,0) y su vector director sea
perpendicular a los vectores: w = y u =
Cuál es la recta que contiene a los puntos o(-2,1) y Q(-3,-4)
Necesito que me ayudes con hallar la ecuación de la recta sabiendo que la recta pasa los puntos p(2,-5) y q(-2,1)