Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a cada ángulo del triángulo en dos ángulos iguales.

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Vamos

Incentro de un triángulo

Imagen para mostrar las bisectrices e incentro del triangulo
  • El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices.
  • El incentro se expresa con la letra .
  • El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Ejercicio para calcular las ecuaciones de las bisectrices e incentro

Hallar las ecuaciones de las bisectrices y el incentro del triángulo de vértices:  y .

Triangulo del ejercicio

En primer lugar hallamos las ecuaciones de los lados del triángulo: para esto utilizaremos la forma punto-pendiente de la recta.

Recta formada por :
Calculamos la pendiente de la recta formada por los puntos y

utilizando esta pendiente y el punto , obtenemos que la ecuación de la recta es

Recta formada por :
Pendiente de la recta formada por los puntos

con la pendiente y el punto obtenemos la recta

Recta formada por :
Tenemos que la pendiente de la recta formada por los puntos y es

con la pendiente y el punto , tenemos que la ecuación de la recta es

Cálculo de la bisectriz que pasa por A.

La teoría para el calculo de la ecuación de la bisectriz la puede encontrar aquí.

Para encontrar la ecuación de la bisectriz que pasa por , consideramos las dos rectas que forman el ángulo

y un punto sobre la bisectriz. Puesto que queremos que la distancia del punto a las rectas sea igual en ambos caso, debemos tener que

es decir, tendremos dos ecuaciones (una considerando el signo positivo y otra el signo negativo).

Primera ecuación:

entonces

Si no se quiere trabajar con radicales se podría escribir una aproximación con números decimales, en este caso tendríamos

Segunda ecuación:

entonces

Con decimales seria aproximadamente

Bisectrices de A

Cálculo de la bisectriz que pasa por B.

En este caso consideramos las ecuaciones de las dos rectas que pasan por

y un punto sobre la bisectriz. En este caso debemos tener que

Primera ecuación:

Entonces

Con números decimales,

Segunda ecuación:

Entonces

con decimales sería aproximadamente

Bisectrices de B

Cálculo de la bisectriz que pasa por C.

Para encontrar la ecuación de la bisectriz que pasa por , consideramos las dos rectas que forman el ángulo

y un punto sobre la bisectriz. Ahora bien

y las dos ecuaciones
Primera ecuación:

entonces

Con decimales

Segunda ecuación:

entonces

Escribiéndolo en su forma decimal

Bisectrices del angulo C

Calculo del incentro

El Incentro es el punto de corte de las tres bisectrices interiores. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

Resolviendo el sistema de ecuaciones con 2 incógnitas obtenemos que el incentro es

Incentro del triangulo

Área de la circunferencia inscrita

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, es decir, la circunferencia es tangente a los tres lados del triángulo. Por tanto, el radio de la circunferencia es la distancia del incentro a cualquiera de los lados.

Para calcular el área de la circunferencia debemos encontrar primero el radio, en este caso para encontrar el radio calcularemos la distancia de al lado del triangulo

Por lo tanto tenemos que el área es

Circunferencia inscrita en el triangulo

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗