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Definición y características de las rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si el ángulo que hay entre ellas es de 
. Observa la siguiente figura:
Rectas en el plano
Si las rectas 
y 
se encuentran en el plano euclidiano, entonces estas rectas serán perpendiculares si
1 El producto de las pendientes es 
:
que también se puede ver como
2 o, también si los vectores directores 
y 
de las rectas son perpendiculares (es decir, su producto interno es 0):
Nota: las rectas perpendiculares en el plano siempre se cruzan en un único punto. Sin embargo, que las rectas se crucen no es suficiente para decir que las rectas son perpendiculares.
Rectas en el espacio
Cuando las rectas y pertenecen al espacio, entonces la única forma de poder determinar si son perpendiculares es calculando el producto interno de los vectores directores. Este producto debe ser 0:
Nota: en el caso de rectas en el espacio es posible que un par de rectas perpendiculares nunca se crucen.
Nota: dada una recta , entonces existe un número infinito de rectas perpendiculares a esta. Si deseamos encontrar una recta tal que 
, entonces necesitamos más restricciones (por ejemplo, en el plano es suficiente con conocer algún punto por el que pase la recta).
Ejemplos con rectas perpendiculares
1 Encuentra la recta que es perpendicular a 
y que pasa por el punto 
.
Como estamos trabajando con una recta en el plano, entonces podemos encontrar la pendiente de :
Por tanto, la pendiente de es
Así, si utilizamos la fórmula punto-pendiente de la recta, obtenemos
Por tanto, la ecuación de la recta perpendicular es
2 Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a 
que pasa por el punto 
.
Como la recta se encuentra en el plano, entonces podemos encontrar su pendiente:
Así, la pendiente de la recta tangente será
Luego, utilizando la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de , con lo que obtenemos
Por tanto, la ecuación de la recta es
Notemos que podemos multiplica la ecuación por 3 para evitar las fracciones:
3 Considera las rectas 
y 
. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto de interseción de y y que es, además, perpendicular a 
.
Para poder encontrar la recta 
que es perpendicular a 
, primero debemos encontrar el punto por el que pasa. Esto se hace encontrando la intersección de y , la cual podemos encontrar si resolvermos el siguiente sistema de ecuaciones:
Si despejamos 
de la segunda ecuación, obtenemos
Luego, sustiuimos en la primera ecuación:
por lo tanto, 
. Luego, sustituyendo en (1), obtenemos que 
.
Así, la recta pasa por el punto 
.
Luego, la pendiente de es
por lo que la pendiente de será
Ahora utilizamos la fórmula punto-pendiente:
Luego multiplicamos por 5 ambos lados de la ecuación:
por lo que la ecuación de la recta que es perpendicular a es
4 Encuentra el valor de 
para que las rectas 
y 
sean perpendiculares.
Esto lo podemos hacer al notar que el producto de las pendientes de las rectas debe ser . Por tanto, primero encontramos la pendientes de ,
y de ,
Luego, si multiplicamos las pendientes, obtenemos
el cual debe ser , es decir,
Así, al despejar , obtenemos 
o
Por lo tanto, debe valer 
para que las rectas sean perpendiculares.
5 Considera las rectas en el espacio dadas por
y
¿Son perpendiculares y ?
Observa que la recta la podemos escribir como
Por tanto, el vector director de es
De manera similar, la podemos escribir como
de manera que el vector director de es
Ahora, el producto interno de 
y 
es
Esto es, 
, por lo tanto y son perpendiculares.
Así, podemos concluir que y sí son perpendiculares.
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¿Cuál es el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un avión que se mantiene sobre volando la ciudad de San José a una distancia constante de 5 km de la Torre de Juan Santamaría
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Ecuación explícita de la recta
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1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(3,-1,0) y su vector director sea
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