Definición de lugar geométrico
Se denomina lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.
Es usual que la propiedad geométrica que caracteriza al lugar geométrico se presente también de forma algebraica.
Ejemplos de lugares geométricos
Mediatrices
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos. Gráficamente, la mediatriz es una recta perpendicular a un segmento que lo divide en dos partes iguales.
Como podemos observar en la imagen anteriormente presentada CD divide al segmento AB en dos partes iguales. Esta relación se puede expresar algebraicamente de la siguiente forma:
Así tendremos dos triangulos con las mismas longitudes por lo cual también tendremos la siguiente relación:
En general, cualquier punto ubicado sobre la recta formada por los puntos P y C serán equidistantes al punto A y B respectivamente.
Utilizando la fórmula de distancia en el plano cartesiando y considerando que 
, 
y 
, esta relación puede reescribirse de la siguiente forma:
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento con extremos en A(2 , 5) y B(4, -7).
Para encontrar la ecuación de la recta de la mediatriz, usaremos la ecuación (1), es decir sabemos que la recta debe satisfacer que 
Sustituyendo con los valores dados tenemos:
Elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación y desarrollando los binomios tenemos:
Cancelando términos y simplificando la expresión tenemos:
Es decir, cualquier pareja que satisfaga la ecuación (2) hará que la longitud entre 
y 
sea la misma (equidistantes).
Bisectrices
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo. Gráficamente, una bisectriz divide un ángulo en dos partes iguales. Por ejemplo, en la siguiente gráfica notemos como las rectas 
y 
tienen dos bisectrices: la recta 
y la recta 
, ambas perpendiculares entre sí.
De esta construcción se desprenden un conjunto de resultados, por ejemplo si trazamos un segmento perpendicular a la rectas y , que pase por un punto ubicado sobre la recta , la distancia será la misma. De hecho, es suficiente que el ángulo formado por el segmento GF y la recta f y el segmento FH con la recta g midan el mismo ángulo para que la distancia a F sea la misma.
Algebraicamente, esta relación satisface que:
Además, si la recta es de la forma:
y la recta es de la forma:
Se satisface que
Ejemplo 1
Encontrar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas
y 
.
Retomamos la ecuación (3) y sustituimos
Desarrollando tenemos:
Es decir,
Como tenemos una igualdad de valores absolutos, existen dos casos en los que la igualdad se satisface, el primero
y el segundo
Para resolver la ecuación (4) dividimos ambos lados de la igualdad por 5 y luego desarrollamos:
Para resolver la ecuación (5) dividimos ambos lados de la igualdad por -5 y luego desarrollamos:
Así las ecuaciones (5) y (6) son las bisectrices de las rectas 
y 
.
Ejemplo 2
Calcular las bisectrices de los ángulos que la recta 3x - 4y + 3 = 0 forma con los ejes coordenados
Este problema consta de dos partes la primera: calcular las bisectrices de la recta 
con la recta 
y la segunda, calcular las bisectrices de la recta con la recta 
.
Para calcular las bisectrices de la recta 
con la recta 
sustituimos, utilizando la ecuación (5)
Desarrollando tenemos:
Calculamos la ecuación de la primera recta bisectriz:
Calculamos la ecuación de la segunda recta bisectriz
Para calcular las bisectrices de la recta con la recta 
sustituimos, utilizando la ecuación (5)
Desarrollando tenemos:
Calculamos la ecuación de la primera recta bisectriz:
Calculamos la ecuación de la segunda recta bisectriz
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