Ecuación de la recta

Definición de recta

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada vector.

dibujo

Ecuación vectorial de la recta



recta

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector vector tiene igual dirección que vector, luego es igual a vector multiplicado por un escalar:

igualdad

igualdades

ecuación vectorial de la recta

ecuación vectorial de la recta

Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director vector = (2,5). Escribir su ecuación vectorial.

solución


Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

solución

solución


Ecuaciones paramétricas de la recta

Realizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se obtiene:

ecuación de la recta

operaciones

Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.

Ecuaciones paramétricas de la recta


Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director vector = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

solución


Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

solución

solución


Ecuación continua de la recta

Si despejamos el parámetro k de las ecuaciones paramétricas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta.

operaciones

ecuación continua


Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua.

solución

Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

solución

solución


Ecuación punto-pendiente

Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:

operaciones

Como

pendiente

Se obtiene:

Ecuación


Ejemplos

Calcular la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(−2, −3) y B(4,2).

solución

solución


Calcular la ecuación de la recta que pasan por A(−2, −3) y tenga una inclinación de 45°.

solución

solución


Ecuación general o implícita de la recta

Partimos de la ecuación continua la recta

ecuación continua

Quitamos denominadores:

Trasponemos términos:

operaciones

Transformamos:

cambio

Y obtenemos la ecuación general de la recta.

ecuación

Las componentes del vector director son:

vector

La pendiente de la recta es:

pendiente


Escribe la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

soluciónsolución

solución

Calcular la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = −2.

solución

solución


Ecuación de la recta en forma explícita

Si despejamos y en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

ecuación

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje de ordenadas.


Calcular la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=−2.

solución

solución


Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Si los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) determina una recta r. el vector director de la recta es:

vector

cuyas componentes son:

componentescomponentes

Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

ecuación


La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5) es:

solución


Ecuación canónica o segmentaria

gráfica

Ecuación canónica o segmentaria


Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4).

Ecuación continua

−4x −8 = 3y −3 4x + 3y + 5 = 0

Si y = 0 flechas x = −5/4 = a.

Si x = 0 flechas y = −5/3 = b.

Ecuación canónica o segmentaria



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