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Hipérbola equilátera
Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto . Y su ecuación es:
Las asíntotas tendrán por ecuación:
Es decir, serán las bisectrices de los cuadrantes. Y su excentricidad será
Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas
Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:
Si efectuamos un giro de en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto cuadrante y su ecuación será:
Ejemplos de ejercicios con Hipérbolas equiláteras
1 La ecuación representa una hipérbola equilátera, calcular vértices y sus focos.
Notemos que se trata de una hipérbola como la que tenemos en , entonces las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, esto nos dice que la primera y la segunda coordenada de los vértices serán iguales, es decir, en los vértices tendremos que . Por otro lado, también se tiene que los vértices pertenecen a la curva por lo que se debe cumplir que . Uniendo estas ultimas dos condiciones obtenemos que
y de aquí
Para los focos, comenzaremos calculando y . Ya que es la distancia del origen al vértice, utilizando la formula de distancia entre dos puntos tendremos que
al tratarse de una hipérbola equilátera
y utilizando la relación entre los semiejes
Ahora bien, los focos se encuentran a una distancia del origen, por lo tanto si
además, los focos también se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante entonces en y tendremos que . Considerando lo anterior
y de aquí
2 Una hipérbola equilátera pasa por el punto . Haya su ecuación referida a sus asíntotas como ejes, y las coordenadas de los vértices y los focos.
Puesto que queremos la ecuación referida a sus asíntotas y pasa por el punto tendremos
Por tanto la ecuación referida a sus asíntotas como ejes, será
Para las coordenadas de los vértices se debe de cumplir que
y de aquí
Para los focos, comenzaremos calculando a,b y c. Anteriormente veíamos que , entonces y al tratarse de una hipérbola equilátera
utilizando la relación entre los semiejes obtenemos que
Los focos se encuentran a una distancia del origen, por lo tanto si
además, los focos también se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante entonces en y tendremos que . Considerando lo anterior
y de aquí
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
encuentra en las coordenadas de los vértices y de los focos las longitudes de los ejes mayor y menor la distancia focal la longitud de cada uno de los lados rectos y la excentricidad de cada una de las elipses cuyas ecuaciones se dan a continuacion x^2/ 25+y^2/9=1
Halla la ecuacion de la parabola ordinaria general con elementos si su vertice está en (4,5) y su foco (7,5)
Dada la ecuación de la parábola. X2-8x-10y-4. Transformala en su forma ordinaria y comprueba su grafica con la de la figura
Determine si la gráfica de cada uno de las siguientes ecuaciones es una circunferencia,un punto o el conjunto vacío; si es la gráfica de una circunferencia dé el centro y el radio .
6×2+6y2-14x+7y-20=0
X2+y2+4x-2y+10=0
X2+y2+18x-20y+100=0
3×2+3y2-x-2y-1=
¿Cómo los puedo citar?
Puedes citar al grupo Superprof directamente 🙂
Una parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el punto A(2,6)
Hallar la ecuación y elaborar la grafica
Qué condiciones debe cumplir «A» para que la ecuación: x2 + y2 + Ax – Ay – A2 = 0 tenga como gráfica una circunferencia? Dé las coordenadas del centro y el valor del radio.
Circunferencia con origen en P (10, 10) y radio 20
Circunferencia con origen en P (-15, 30) y radio 1. c)
Circunferencia que pasa por los puntos (3, 7) (-9, 1) (-8, 5).
Circunferencia que pasa por los puntos (0, -14) (0, 1) (5, -7).