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Vamos

Hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto . Y su ecuación es:

 

 

hipérbola equilatera

 

Las asíntotas tendrán por ecuación:

 

 

Es decir, serán las bisectrices de los cuadrantes. Y su excentricidad será

 

 

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

Hiperbola equilatera normalHiperbola girada 45

Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:

 

 

Hiperbola equilatera referida a sus asintotas

 

Si efectuamos un giro de en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto cuadrante y su ecuación será:

Ejemplos de ejercicios con Hipérbolas equiláteras

1 La ecuación representa una hipérbola equilátera, calcular vértices y sus focos.

Notemos que se trata de una hipérbola como la que tenemos en , entonces las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, esto nos dice que la primera y la segunda coordenada de los vértices serán iguales, es decir, en los vértices tendremos que . Por otro lado, también se tiene que los vértices pertenecen a la curva por lo que se debe cumplir que . Uniendo estas ultimas dos condiciones obtenemos que

y de aquí

Para los focos, comenzaremos calculando y . Ya que es la distancia del origen al vértice, utilizando la formula de distancia entre dos puntos tendremos que

al tratarse de una hipérbola equilátera

y utilizando la relación entre los semiejes
Ahora bien, los focos se encuentran a una distancia del origen, por lo tanto si

además, los focos también se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante entonces en y tendremos que . Considerando lo anterior

y de aquí

 

2 Una hipérbola equilátera pasa por el punto . Haya su ecuación referida a sus asíntotas como ejes, y las coordenadas de los vértices y los focos.

 

Puesto que queremos la ecuación referida a sus asíntotas y pasa por el punto tendremos

Por tanto la ecuación referida a sus asíntotas como ejes, será

Para las coordenadas de los vértices se debe de cumplir que

y de aquí

Para los focos, comenzaremos calculando a,b y c. Anteriormente veíamos que , entonces y al tratarse de una hipérbola equilátera

utilizando la relación entre los semiejes obtenemos que

Los focos se encuentran a una distancia del origen, por lo tanto si

además, los focos también se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante entonces en y tendremos que . Considerando lo anterior


y de aquí

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗