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La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, esto es,
La ecuación de una elipse en posición estándar toma la forma
A la ecuación (1) también se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje horizontal, y si se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje vertical.
Además, si el centro de la elipse no es el origen, entonces la ecuación de una elipse toma la forma
donde el punto corresponde al centro de dicha elipse. Nuevamente, si la elipse se encuentra en posición horizonal, y si la elipse se ecuentra en posición vertical.
Elementos de la elipse
1Focos: Son los puntos fijos y
2Eje focal : Es la recta que pasa por los focos.
3Eje secundario: Es la mediatriz del segmento
4Centro: Es el punto de intersección de los ejes, usualmente denotado por
5Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: y
6Distancia focal: Es el segmento de longitud , donde es el valor de la semidistancia focal.
7Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: y
8Eje mayor: Es el segmento de longitud , donde es el valor del semieje mayor.
9Eje menor: Es el segmento de longitud , donde es el valor del semieje menor.
10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
11Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
El significado de las cantidades y está ilustrado en la figura 2. Además, usando el Teorema de Pitagoras , se tiene que
Excentricidad de la elipse
La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor, esto es
Además, dado que siempre se tiene que , la excentricidad satisface que
Observaciones: 1 Si la excentricidad de una elipse fuera , tendríamos que
lo cual se traduce a que los focos son iguales al centro, esto es,
Por lo tanto no tendríamos una elipse, si no un circulo con centro en
2 Si la excentricidad de una elipse fuera , entonces tendríamos que
Así, si , de la figura 2 observamos que solo tendríamos el eje focal , es decir, una "elipse" con excentricidad no es más que una recta.
A continuación se muestras algunos ejemplos de elipses con distintos valores de excentricidad:
1 Elipse con excentricidad
2 Elipse con excentricidad
3 Elipse con excentricidad
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
encuentra en las coordenadas de los vértices y de los focos las longitudes de los ejes mayor y menor la distancia focal la longitud de cada uno de los lados rectos y la excentricidad de cada una de las elipses cuyas ecuaciones se dan a continuacion x^2/ 25+y^2/9=1
Halla la ecuacion de la parabola ordinaria general con elementos si su vertice está en (4,5) y su foco (7,5)
Dada la ecuación de la parábola. X2-8x-10y-4. Transformala en su forma ordinaria y comprueba su grafica con la de la figura
Determine si la gráfica de cada uno de las siguientes ecuaciones es una circunferencia,un punto o el conjunto vacío; si es la gráfica de una circunferencia dé el centro y el radio .
6×2+6y2-14x+7y-20=0
X2+y2+4x-2y+10=0
X2+y2+18x-20y+100=0
3×2+3y2-x-2y-1=
¿Cómo los puedo citar?
Puedes citar al grupo Superprof directamente 🙂
Una parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el punto A(2,6)
Hallar la ecuación y elaborar la grafica
Qué condiciones debe cumplir «A» para que la ecuación: x2 + y2 + Ax – Ay – A2 = 0 tenga como gráfica una circunferencia? Dé las coordenadas del centro y el valor del radio.
Circunferencia con origen en P (10, 10) y radio 20
Circunferencia con origen en P (-15, 30) y radio 1. c)
Circunferencia que pasa por los puntos (3, 7) (-9, 1) (-8, 5).
Circunferencia que pasa por los puntos (0, -14) (0, 1) (5, -7).