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En el plano cartesiano, la parábola corresponde al lugar geométrico formado por los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta dada llamada directriz. Así, dado un foco y una directriz , los puntos pertenecen a la parábola si satisfacen que:
La distancia de a se conoce como distancia focal ; ésta se obtiene trazando una perpendicular a que pase por , después se calcula la longitud del segmento comprendido entre la directriz y el foco. El punto que destaca de la parábola se llama vértice , pues su distancia tanto al foco como a la directriz es de . Geométricamente, corresponde al punto punto medio del segmento trazado para calcular la distancia focal.
Ecuación ordinaria reducida de la parábola de eje horizontal
Supongamos que la directriz es una recta vertical paralela al eje de las ordenadas, que se encuentra al lado izquierdo de ésta. Si el vértice tiene como coordenadas , entonces, las coordenadas del foco deben ser y la recta directriz
Los puntos pertenecen a la parábola si están a la misma distancia del foco que de la directriz, así:
Simplificando la expresión, se obtiene la ecuación reducida de la parábola cuando ésta abre a la derecha:
En caso de que la recta se encuentre del lado derecho del eje de las ordenadas y el vértice tenga como coordenadas , las coordenadas del foco deben ser y la recta directriz
Haciendo el mismo procedimiento descrito anteriormente, se obtiene la ecuación reducida de la parábola cuando ésta abre a la izquierda:
Ejemplos
1 Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
2 Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Ecuación ordinaria reducida de la parábola de eje vertical
Supongamos que la directiz es una recta horizontal paralela al eje de las abscisas, que se encuentra debajo de ésta. Si el vértice tiene como coordenadas , entonces, las coordenadas del foco deben ser y la recta directriz
Los puntos pertenecen a la parábola si están a la misma distancia del foco que de la directriz, así:
Simplificando la expresión, se obtiene la ecuación reducida de la parábola cuando ésta abre a la derecha:
En caso de que la recta se encuentre arriba del eje de las abscisas y el vértice tenga como coordenadas , las coordenadas del foco deben ser y la recta directriz
Haciendo el mismo procedimiento descrito anteriormente, se obtiene la ecuación reducida de la parábola cuando ésta abre a la izquierda:
Ejemplos
1 Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
2 Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Ecuaciones ordinarias de la parábola
En caso de que el vértice tenga coordenadas distintas de cero, las ecuaciones que se obtienen son muy parecidas a las explicadas anteriormente salvo una traslación.
Si la recta directriz es paralela al eje de las ordenadas:.
Simplificando la expresión, se obtiene la ecuación ordinaria de la parábola cuando abre a la derecha:
Si el valor de es negativo, indica que abre a la izquierda.
En el caso de que la recta directriz sea paralela al eje de las abscisas.
Simplificando la expresión, se obtiene la ecuación ordinaria de la parábola cuando ésta abre hacia arriba:
Si el valor de es negativo, indica que abre hacia abajo.
Ejemplos
1Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
2Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Ejercicios resueltos sobre parábolas
Con los datos dados, determina las ecuaciones de las parábolas
Con las ecuaciones de las parábolas dadas, calcula las coordenadas del vértice y del foco, así como las ecuaciones de las directrices
Resuelve los problemas
Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, sustituyendo los puntos conocidos de la parábola y el valor del vértice.
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encuentra en las coordenadas de los vértices y de los focos las longitudes de los ejes mayor y menor la distancia focal la longitud de cada uno de los lados rectos y la excentricidad de cada una de las elipses cuyas ecuaciones se dan a continuacion x^2/ 25+y^2/9=1
Halla la ecuacion de la parabola ordinaria general con elementos si su vertice está en (4,5) y su foco (7,5)
Dada la ecuación de la parábola. X2-8x-10y-4. Transformala en su forma ordinaria y comprueba su grafica con la de la figura
Determine si la gráfica de cada uno de las siguientes ecuaciones es una circunferencia,un punto o el conjunto vacío; si es la gráfica de una circunferencia dé el centro y el radio .
6×2+6y2-14x+7y-20=0
X2+y2+4x-2y+10=0
X2+y2+18x-20y+100=0
3×2+3y2-x-2y-1=
¿Cómo los puedo citar?
Puedes citar al grupo Superprof directamente 🙂
Una parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el punto A(2,6)
Hallar la ecuación y elaborar la grafica
Qué condiciones debe cumplir «A» para que la ecuación: x2 + y2 + Ax – Ay – A2 = 0 tenga como gráfica una circunferencia? Dé las coordenadas del centro y el valor del radio.
Circunferencia con origen en P (10, 10) y radio 20
Circunferencia con origen en P (-15, 30) y radio 1. c)
Circunferencia que pasa por los puntos (3, 7) (-9, 1) (-8, 5).
Circunferencia que pasa por los puntos (0, -14) (0, 1) (5, -7).