Ecuación de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

elipse

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

igualdad

Esta expresión da lugar a:

igualdad

Realizando las operaciones llegamos a:

ecuación


Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.




elipse

Semieje mayor

semieje menor

Semidistancia focal

c

Semieje menor

b

Ecuación reducida

ecuación

Excentricidad

e


Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

ecuación

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(0, c)

Ejemplo

Dada la ecuación reducida de la elipse ecuación, hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

solución

solución

solución

solución

solución

solución


Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:


dibujo

ecuación


Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

ecuación

Donde A y B tienen el mismo signo.


Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

solución

solución

solución


Dada la elipse de ecuación ecuación, hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución


Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:


dibujo

ecuación

Ejercicios

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

1 ecuación

solución

solución

solución

solución

solución

solución


dibujo

2 ecuación

solución

solución

solución

solución

solución

solución


dibujo

3 ecuación

solución

solución

solución

solución

solución

solución


dibujó

4 ecuación

solución

solución

solución

solución

solución

solución


dibujó


Halla la ecuación de la elipse conociendo:

1 puntos

solución

solución


2 puntos

solución

solución


3 puntos

solución

solución


4 puntos

solución

solución


Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.

solución

solución

solución


La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.

solución

solución

solución

solución


Determina la ecuación reducida de un elipse cuya distancia focal es número y el área del rectángulo construidos sobre los ejes 80 u2.

solución

solución

solución

solución

solución


Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que uno de los vértices dista 8 de un foco y 18 del otro.

dibujo

solución

solución

solución


Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su excentricidad es 3/5.

solución

solución

solución

solución