Ecuación general de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

dibujo

ecuaciones

ecuaciones

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

ecuación

Si desarrollamos:

operaciones

y realizamos estos cambios:

operaciones

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

ecuación

Donde el centro es:

centro

y el radio cumple la relación:

radio


Para que una expresión del tipo: ecuación
sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2. No tenga término en xy.

3. radio


Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

ecuación


Ejercicios

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

solución

solución

solución


Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

solución

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Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación ecuación por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

solución

solución

solución



Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1. Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:

ecuación

2. No tiene término en xy.

3. operaciones

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

solución

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Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

dibujo

 

solución

solución

solución


Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

dibujo

 

solución

solución

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Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

dibujo

 

solución

solución

solución

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Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación , y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

 

circunferencias

solución

solución

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solución

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Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

 

dibujo

solución

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Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia ecuación que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

 

dibujo

solución

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Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

 

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solución

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solución

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Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio es raíz de cinco y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

 

dibujo

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