Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta se debe resolver el sistema formado por las ecuaciones de ambas.

En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discriminante,

las siguientes soluciones:

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Vamos

Secantes

En este caso tenemos que el discriminante es positivo

es decir, la cuadrática obtenida por las dos ecuaciones tendra dos soluciones las cuales seran

es decir, se tendra la la recta y la cónica coincidirán en dos puntos y por tanto seran secantes

Conica y recta secantes

Tangentes

En este caso, tenemos que el discriminante es igual a cero y se tendra una sola solución para la ecuación cuadrática resultante

es decir, la recta y la cónica serán tangentes.

Conica y recta tangentes

Exteriores

Finalmente tenemos que el discriminante es menor a cero, en este caso no se tendrán soluciones reales en la ecuación cuadrática por lo tanto la recta y la cónica seran exteriores

conica y recta sin puntos en comun

 

Ejemplos de ejercicios entre la posición relativa de una cónica y una recta

1 Calcula la posición relativa de la circunferencia y la recta .

Tenemos que

entonces

resolviendo la ecuación cuadrática

es decir, tenemos dos soluciones

Utilizando estas dos coordenadas como abscisa , encontramos la ordenada teniendo que los dos puntos de corte entre la cónica y la recta son

Concluyendo que son secantes.

Conica y recta secantes del ejemplo 1
2 Estudiar la posición relativa de la circunferencia con la rectas:

a

En este caso

sustituyendo

Resolvemos la ecuación cuadrática, obteniendo que la solución a la ecuación y los puntos de coincidencia son

Al ser dos puntos, concluimos que son secantes.

Recta y conica secantes del ejemplo 2
b

Con esta recta tendremos que

sustituyendo

resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos una solución

Por tanto tangentes.

Posiciones relativas de una cónica y una recta
c

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Sustituyendo obtenemos que

Notemos que al calcular el discriminante de la ecuación cuadrática anterior obtenemos que

es decir, es menor que cero y por tanto son exteriores

Conica y recta exteriores del ejercicio 3
3 Calcular la posición relativa de la recta respecto a la parábola .

Iniciamos resolviendo el sistema de ecuaciones

Sustituyendo

por tanto

De lo anterior obtenemos las coordenadas de los puntos

es decir, al ser dos puntos concluimos que son secantes.

Parabola y recta secantes del ejemplo 3

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗