Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Vectores linealmente dependientes

Ejemplos

1.Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

vector u = (2, 3, 1), = (1, 0, 1), w = (0, 3, −1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

sistema de ecuaciones

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.


2.Siendo vector u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 0) y w = (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector vector m = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.

combinación lineal

combinación lineal

igualdad

sistema de ecuaciones

El sistema admite únicamente la solución trivial:

solución al sistema

Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes.

combinación lineal

combinación lineal

combinación lineal

sistema de ecuaciones

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

sistema de ecuaciones

solución a los sistemas

solución