Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Ejemplos
1.Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:
= (2, 3, 1), 
= (1, 0, 1), 
= (0, 3, −1)
a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)
r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.
El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.
2.Siendo = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector 
= (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.
El sistema admite únicamente la solución trivial:
Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes.
Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.
