Producto punto

El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

producto

Expresión analítica del producto punto

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5


Expresión analítica del módulo de un vector

módulo don vector

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas vector u = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

módulo

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

ángulo de dos vectores

Determinar el ángulo que forman los vectores vector u = (1, 2, −3) y v = (−2, 4, 1).

producto escalar

producto escalar


Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo

Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).

vectores ortogonales

vectores ortogonales

solución

Propiedades del producto punto

1Conmutativa

propiedad

2 Asociativa

propiedad

3 Distributiva

propiedad

4

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

propiedad


Interpretación geométrica del producto punto

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

vector

PROYECCIÓN

PROYECCIÓN

OA' es la proyección escalar de u sobre el vector v.

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de v, de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

Ejercicio

Dados los vectores vector y vector hallar:

1. Los módulos de vector u y v·

módulo

módulo

2. El producto escalar de vector u y v·

producto escalar

3. El ángulo que forman.

producto escalar

proyección

4. El valor de m para que los vectores vector y vector sean ortogonales.

m