Producto mixto

El producto mixto de los vectores vector u, v y w se representa por [vector u, , w] y es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

producto mixto

El producto mixto de tres vectores equivale al desarrollo de un determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

producto mixto

Ejemplos

Calcular el producto mixto de los vectores:

vectores

producto vectorial

producto mixto

Volumen del paralelepípedo

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

vectores

volumen

Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

volumen del tetraedro

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

vector

vector

vector

volumen

producto mixto

solución


Propiedades del producto mixto

1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen.

propiedad

propiedad

2. Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0.