Producto cruz

El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

módulo del producto vectorial

gráfiica producto vectorial

El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

producto vectorial

Ejemplos

Calcular el producto cruz de los vectores vector u = (1, 2, 3) y v = (−1, 1, 2).

producto vectorial

solución

Dados los vectores vector y vector, hallar el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a vector u y v.

producto vectorial

ortogonal

ortogonal

El producto vectorial de producto vectorial es ortogonal a los vectores vector u y v.


Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

área del paralelogramo

área

Ejemplo

Dados los vectores uy vector, hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores vector u y v·

producto vectorial

área

Área de un triángulo

triángulo

área del triángulo

Ejemplo

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

vectores

producto vectorial

operaciones

vector

módulo del vector

área del triángulo

Propiedades del producto cruz

1. Anticonmutativa

vector u x v = −v x vector u

2. Homogénea

λ (vector u x v) = (λvector u) x v = vector u x (λv)

3. Distributiva

vector u x (v + w ) = vector u x v + vector u x w ·

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo.

vector u modo normal se ignoro de paralelo v flechas vector u x v = Vector nulo

5. El producto vectorial vector u x v es perpendicular a vector u y a v.