Base

Tres vectores vector u, y w con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.

vectot

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

coordenadas

Base ortogonal

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

BASE CANÓNICA

I, J, K

módulo

perpendiculares

Esta base formada por los vectores i, j y k se denomina base canónica.

Ejemplos

1. Dados los vectores vector u = (1, 2, 3), = (2, 1, 0) y w = (−1, −1, 0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base.

combinación lineal

combinación lineal

igualdad

sistema de ecuaciones

El sistema homogéneo sólo admite la solución trivial:

solución al sistema

Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes y forman una base.

combinación lineal

combinación lineal

sistema de ecuaciones

Las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto a la base son:solución.


2. Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

1 Demostrar que forman una base.

Los tres vectores forman una base si son linealmente independientes.

combinación lineal

combinación lineal

sistema de ecuaciones

En el sistema homogéneo el rango coincide con el número de incógnitas, por tanto tan sólo admite la solución trivial:

coeficientes

Los vectores son linealmente independientes y, por tanto, forma una base.

2Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.

Las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la base son:

combinación lineal

comercio lineal

sistema de ecuaciones

sistemas

coordenadas

combinación lineal

coordenadas

combinación lineal

coordenadas


3. Calcular el valor de a para que los vectores u, vy w formen una base.

solución

Si a ≠ 1, los vectores forman una base.