Posiciones relativas de tres planos

Para estudiar la posición relativa de tres planos discutimos el sistema:

sistema

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:

1. Planos secantes en un punto

r=3, r'=3

Secantes

2.1 Planos secantes dos a dos.

r = 2, r' = 3

Los tres planos forman una superficie prismática.

Prismáticas

2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante

r = 2, r' = 3

Dos filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales.

Dos planos paralelos cortados por otro

3.1 Planos secantes y distintos

r = 2, r' = 2

3.2 Dos planos coincidentes y uno secante

r = 2, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

Dos coincidentes, uno secante

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos

r = 1, r' = 2

Planos paralelos

4.2 Planos paralelos y dos coincidentes

r = 1, r' = 2

Dos filas de la matriz ampliada son proporcionales.

Dos coincidente y uno paralelo

5. Planos coincidentes

r = 1, r' = 1

Planos coincidentes


Ejemplos

Hallar la posición relativa de los planos:

1. planos

sistema de ecuaciones

rango

rango

Los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie prismática.

2. planos

sistema de ecuaciones

rango

rango

Los tres planos se cortan en un punto.

3. planos

sistema de ecuaciones

rango

rango

proporción

El segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a ellos, por tanto los tres planos se cortan en una recta.

4. planos

sistema de ecuaciones

rango

rango

proporción

El primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a ellos.