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Tres o más puntos están alineados si están en una misma recta, es decir, sus coordenadas son proporcionales, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.
A continuación veremos algunos ejemplos de ejercicios donde consideraremos puntos alineados.
Comprobar si los puntos están alineados.
Comprobar si los puntos y están alineados.
Para que los puntos estén alineados se requiere que el rango de los vectores y sea 1, es decir, los vectores deben ser proporcionales.
Por inspección de los vectores y podemos conjeturar que estos no parecen ser proporcionales. Esto se comprueba calculando el módulo del producto vectorial entre y y verificar que es distinto de cero. Esto es,
Calculamos los determinantes,
Dado que todos los determinantes resultaron distinto de cero, el vector resultante es distinto de cero, por lo que se concluye que
Entonces y los puntos no están alineados.
Hallar la ecuación de la recta
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos y . Estudiar si el punto está alineado con y .
Hallaremos la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos y utilizando el vector y el punto .
La ecuación en general de la recta continua es
donde
- es su vector director y
- un punto de la recta.
En este caso, es el vector director y el punto de la recta. Puesto que
se tiene que la ecuación de la recta es
Para que el punto este alineado con y , debe pertenecer a la recta que pasa por y Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos
por lo que no satisface la ecuación de la recta y no está alineado con y .
Determinar valores de m
Determinar los valores de m para que los puntos y estén alineados y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.
Para que los puntos estén alineados se requiere que el rango de los vectores y sea 1,
Es decir, necesitamos que el módulo del producto vectorial entre y sea cero, el cual se reduce a calcular los siguientes determinantes (ver ejemplo 1)
1
2
3
De la primera ecuación tenemos que
lo cual implica que o . De la segunda ecuación obtenemos directamente que y de la tercera ecuación obtenemos que
Por lo tanto, para que los puntos estén alineados, se debe tener que .
Ahora bien, considerando y el punto , tendremos que la ecuación de la recta que los contiene es
Si tienes dudas puedes consultar la teoría.
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