Ejercicios y problemas resueltos de posiciones relativas

1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta rectal con el plano plano y es paralelo a las rectas:

directarecta

Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman un sistema, cuya solución es el punto de intersección.

sistema

El plano viene determinado por el el punto de intersección y los vectores directores de las rectas paralelas al plano.

determinación lineal

solución


2. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1, 0, 2) y se apoya en las rectas:

rectas

Obtenemos un punto genérico de la recta r.

punto genérico

Obtenemos un punto genérico de la recta s.

punto genérico

Calculamos la ecuación de la recta que pasa por P y Q.

rectas

Como la recta pasa por el punto (1, 0, 2), tendremos:

ecuación de la fecha

sistema

solución al sistema

Sustituimos estos dos valores en la ecuación de la recta:

ecuación de la recta

Operamos y simplificamos.

ecuación de la recta


3. Hallar el valor de los parámetros a y b para que la recta recta sea coincidente con el plano plano.

Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman el sistema:

sistema de ecuaciones

matrices

Para que la recta sea coincidente con el plano se tiene que cumplir que:

rango

Por tanto el determinante de orden 3, de las dos matrices, se anula.

rango

rango


4. Calcula los valores de los parámetros a y b para que los planos:

planos

pasen por una misma recta.

Para que los tres planos pasen por una misma recta tiene que ocurrir que: rango.

sistema de ecuaciones

matrices

determinante

determinante


5. Estudiar para los diferentes valores de a la posición relativa de los siguientes planos:

planos

matrices

En el determinante de la matriz de los coeficientes sumamos a la primera fila las otras dos y posteriormente sacamos factor común.

determinante

Restamos a cada fila la primera:

determinante

estudio

matrices

Los tres planos se cortan en un punto.

estudio

Las tres ecuaciones son idénticas, los tres planos son coincidentes.

estudio

matrices

determinante

determinante

Como no hay ningún par de planos paralelos, los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.


6. Estudiar las posiciones relativas del plano plano y la recta recta según los valores del parámetro a.

sistema

matrices

determinante

estudio

rangos

La recta corta al plano en un solo punto.

estudio

matrices

determinante

determinante

La recta está contenida en el plano.

estudio

matrices

determinante

determinante

La recta es paralela al plano.


7. Determinar b para que la recta ecuación de la recta no corte el plano plano.

Una recta y un plano no se cortan si son paralelos.

Para que una recta y un plano sean paralelos el producto escalar del vector director de la recta por el vector normal del plano es igual a 0.

vectores

producto escalar

solución


8. Hallar los valores de m y n para que la rectas recta y recta sean paralelas.

Si dos rectas son paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales.

solución


9. Calcular el valor de k para que las rectas recta y recta se corten en un punto. Encontrar ese punto.

recta

sistema

solución