Temas
Ecuación vectorial del plano
Para determinar un plano del espacio, se necesita conocer un punto 
y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.
Para que el punto 
pertenezca al plano 
el vector 
tiene que ser coplanario con los vectores 
y 
, es decir, que dependa linealmente de 
y 
.
En coordenadas se expresa
Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:
Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones paramétricas de la recta.
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas
y 
· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollando el determinante obtenemos:
Damos los valores:
Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a 
el valor:
Obtenemos la ecuación general de plano:
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean los puntos 
y 
, la ecuación canónica viene dada por:
donde
Ejercicios
1 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto 
y tiene como vectores directores a 
y 
1 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
2 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos 
y 
y contiene al vector 
1 Se tiene un vector director; el otro vector director viene dado por
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos 
y 
1 Calculamos los vectores directores
2 Sustituimos el punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación paramétrica del plano y se tiene
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
4 Comprobar si los puntos 
y 
pertenecen al plano de ecuaciones paramétricas
1 De la ecuación paramétrica se obtiene un punto del plano y los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 Sustituimos los puntos dados en la ecuación implícita del plano
, entonces 
, entonces 
5 Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos 
y 
.
1 Calculamos los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
3 La ecuación segmentaria es
6 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 
y contiene a la recta de ecuación
1 De la ecuación de la recta se obtiene un punto del plano y un vector director
2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
7 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos 
y es paralelo a la recta de ecuación
1 De la ecuación de la recta se obtiene un vector director
2 Con los dos puntos calculamos el otro vector director
3 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
8 Dadas las rectas
Determinar la ecuación del plano que contiene a 
y es paralelo a 
1 De las ecuaciones de las rectas se obtienen un punto del plano y los vectores directores
2 Sustituimos un punto y los vectores directores en la fórmula de la ecuación implícita del plano y se tiene
Desarrollando el determinante obtenemos:
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