Ecuación del plano

Ecuación vectorial del plano

Para determinar un plano del espacio se necesita conocer un punto P y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.

ecuación vectorial de plano

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector vector tiene que ser coplanario con vector u y v, es decir, que dependa linealmente de vector u y .

ecuación vectorial del plano

igualdad

ecuación vectorial del plano


Ecuaciones paramétricas del plano

Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

operaciones

Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:

ecuaciones para métricas del plaro


Ecuación general o implícita del plano

Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

sistema

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Ecuación general del plano

Desarrollando el determinante obtenemos:

operaciones

Damos los valores:

coeficientes

Sustituimos:

ecuación

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

ecuación

Obtenemos la ecuación general de plano:

eco general del plano


Ecuación canónica o segmentaria del plano

ecuación canónica en el espacio

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

ecuación canónica de la recta en el espacio

coeficientes


Ejercicios

1.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a vector y vector.

ecuaciones paramétricas

ecuación general

ecuación general


2.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector vector.

vector

ecuaciones paramétricas

el cuartel general


3.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).

vector

vector

ecuaciones paramétricas

ecuación general


4.Sea π el plano de ecuaciones paramétricas:

ecuaciones paramétricas

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al plano.

ecuación general

comprobación

comprobación


5.Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

vector

vector

ecuación general

Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria:

ecuación segmentaria


6.Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y contiene a la recta de ecuación:

ecuaciones continuas

De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector vector u.

vector

determinación lineal

ecuación general


7.Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta:

ecuaciones continuas

determinación lineal

ecuación del claro


8.Dadas las rectas

ecuaciones de rectas

Determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.

determinación lineal

ecuación del plan