Problemas de distancias, áreas y volúmenes

1. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 1), B(3, 2, 1) y C(−1, 3, 2).

vector

vector

producto vectorial

módulo del producto vectorial

área del triángulo


2. Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(0,0,0), B(2, 1, 3), C(−1, 3, 1) y D(4, 2, 1).

vector

vector

vector

volumen


3. Dada la recta ecuación de una recta y el plano ecuación del plano, hallar la ecuación de la recta s, proyección ortogonal de r sobre π.

La recta s es la intersección del plano π con el plano πp que contiene a la recta r y es perpendicular a π.

El plano πp queda determinado por el punto A(2, −1, 0), el vector (2, 1, 1) y el vector normal, (1, 1, 1), del plano perpendicular π.

planos perpendiculares

ecuación del plano

ecuación de la recta


4. Calcular la distancia entre las rectas:

rectas

determinación lineal

determinación lineal

vector

producto mixto

producto vectorial

módulo

distancia


5. Hallar el simétrico del punto A(3, 2, 1) respecto del plano ecuación de la recta.

esquema del punto simétrico

En primer lugar calculamos r, que es la recta que pasa por A y es perpendicular a π.

ecuación de la recta

Hallamos el punto de intersección de la recta r y el plano π.

sistema de ecuaciones

Teniendo en cuenta las coordenadas del punto medio de un segmento, podemos hallar el extremo A'.

coordenadas del punto medio

. Simétrico


6. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano ecuación del plano con los ejes coordenados.

A

B

C

vector

vector

producto vectorial

área del triángulo


7. Dado el plano de ecuación determinación lineal y el punto A(1, 1, 1), hallar las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde A a ese plano (o sea, la proyección ortogonal de A sobre él).

esquema

determinación lineal

ecuación de la recta

El pie de la perpendicular es el punto de intersección entre el plano y la recta.

piedra perpendicular

coordenadas del pie


8. Determinar la ecuación del plano π que está a raíz de seis de 6 de distancia del origen y es paralelo a aquel que tiene por ecuación ecuación del plano.

haz de planos paralelos

distancia

parámetros

ecuación del plano

distancia


9. Hallar la distancia entre el punto A(3, 2, 7) y la recta/del primer octante.

ecuación de la recta

vector

producto vectorial

distancia

10. Sabiendo que los lados de un cuadrado están en las rectas:

ecuaciones de rectas

calcular su área.

Determinación lineal de la recta r.

determinación lineal

Determinación lineal de la recta s.

vector

sistema

determinación lineal

vector

La distancia de la r a la recta s es igual a la distancia del punto B a la recta r.

producto vectorial

distancia

El lado del cuadrado es igual a la distancia entre las rectas r y s.

área