¿Qué es la geometria analítica?

Pierre de Fermat (1601-1665) y René Descartes (1596-1650) son los principales autores de la geometría analítica tal y como se conoce hoy en día. Descartes desarrolló la idea de fijar la posición de un punto de un plano por medio de su distancia hacia dos ejes ortogonales (conocidos terminológicamente como coordenadas cartesianas).

La geometría analítica emplea métodos algebraicos y ecuaciones para el estudio de problemas geométricos. Estudia las figuras, sus distancias, sus áreas, los puntos de intersección, los ángulos de inclinación, etc. Además, permite la representación e interpretación geométrica del álgebra. La idea básica de esta disciplina es el establecimiento de una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y los pares (x, y) de números reales. Esto puede realizarse de muchas maneras, pero la más utilizada es la de elegir una recta en un plano como eje x o eje de abscisas, y en esta, un punto O como origen, así como un segmento como unidad de medida. Se señalan en el eje los puntos que distan de O por unidades (uno, dos, tres…) y se les asigna un número. De esta manera, se atribuyen los valores positivos (+a) a las unidades situadas a la derecha de O y los valores negativos (-a)  al segmento simétrico del mismo con respecto al punto O. Establecemos, así, una correspondencia entre los puntos del eje x y los números reales.

A continuación, en el mismo plano, se traza una recta perpendicular al eje x con origen en O que recibirá el nombre de eje y o eje de ordenadas. Sobre ella llevamos los números positivos (+b) por encima del punto O y los negativos (-b) por debajo. La unidad de medida en el eje de ordenadas no tiene que ser necesariamente la misma que se ha representado sobre el eje x.

Si se traza una recta paralela al eje x desde el eje y que sea correspondiente a b y otra recta que sea paralela al eje y por el punto correspondiente a a en el eje x, su punto de intersección (P) se designa como P(a, b). Por lo tanto, dado un par de números reales a y b hay un único punto posible, el que tiene por abcisa a y por ordenada b. Asimismo, si elegimos un punto en el plano podemos trazar desde él una única paralela a cada eje de coordenadas. Estas rectas cortarán los ejes en los puntos marcados con a y b, números que constituirán la pareja correspondiente al punto P. Diremos, entonces, que las coordenadas de P son (a, b).

Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. Estos reciben el nombre de primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, siendo el primero el que se encuentra en la parte derecha superior con respecto al punto O, el segundo el que está en la parte superior izquierda, el tercero, el inferior izquierdo, y, el cuarto, el inferior derecho. Los puntos del primer cuadrante tienen las coordenadas positivas, las del segundo cuadrante son negativas en el eje de abscisas (x) y positivas en el de ordenadas (y); las del tercero son negativas, y las del cuarto son positivas en el eje de abscisas y negativas en de ordenadas.

Dentro del área de las matemáticas, la geometría analítica tiene un importante papel en el cálculo. Es una herramienta fundamental para hallar tangentes, puntos, longitudes, áreas y volúmenes, muy empleada durante el Renacimiento para estudiar la astronomía, la óptica o la navegación.

Descartes y Fermat sugirieron un sistema con tres ejes de coordenadas para estudiar las curvas y las superficies en el espacio, aunque el sistema de geometría analítica de tres dimensiones no se desarrolló hasta el siglo XVIII, cuando matemáticos comenzaron a crear ecuaciones para representar cilindros, conos y demás figuras.

Aplicaciones de la geometría analitica

Aunque su función principal es la de establecer una correspondencia entre las curvas geométricas y las ecuaciones algebraicas que permite reformular los problemas geométricos en equivalentes algebraicos y viceversa, sus aplicaciones, sobre todo con la llegada de la computación en el siglo XX, se han extendido considerablemente. Actualmente, además de emplearse en el cálculo matemático, la geometría analítica, en concreto la tridimensional, es fundamental para la animación por ordenador y el diseño digital. Las coordenadas se usan para determinar los bordes de las curvas que forman los límites de las superficies de los objetos virtuales que se diseñan. Además, la geometría es la base del sistema vectorial, que aunque resulta complejo matemáticamente hablando, resulta muy productivo también para el diseño virtual de iluminación y sombras.